Sunday, August 23, 2015

पंचकोनी फरशीची समस्या


लेखाच्या सुरूवातीलाच मी हे स्पष्ट करतो की आमच्या घरातील एकही फरशी पंचकोनी नाहीये आणि सुदैवाने फरशांनी अजूनतरी काही समस्या निर्मांण केली नाही (मागच्या आठवड्यात मी फरशीवर घसरून पडलो म्हणायला. असो.). बऱ्याच  ठिकाणी असणाऱ्या फरशा मस्त चौरसाकृती असतात हे उघड आहे. पुण्यातल्या पदपथावर मात्र मी शक्यतो षटकोनी आकाराच्या फरशा लावलेल्या पाहील्या आहेत. मात्र तुमच्यापैकी कोणी पंचकोनी आकाराच्या फरशा कुठे बसवलेल्या पाहील्या आहेत का? जरा आठवून बघा बरं. खरेतर पंचकोनी फरशा बसवायला काही जास्त खर्च येतो अशातला भाग नाही पण मग फरशा बनवणारे लोक पंचकोनी फरशा का बनवत नाहीत? याला कारण आहे गणितातील एक थोडासा विचित्र सिद्धांत. अशी कल्पना करा की आपल्यावर एका भल्यामोठ्या खोलीच्या जमिनीवर फरशा बसवायचे काम देण्यात आले आहे. फरशांचा आकार कसा असेल हे आपण ठरवायचे आहे. अट मात्र एवढीच आहे की बसवताना कोठेही जमीनाचा थोडाही भाग उघडा राहायला नको आणि बसवताना मोठ्या फरशांचे तुकडे करून ते खाली बसवायचे नाहीत. फरशांचा कोणता आकार घेतला तर या सर्व अटींचे पालन होऊ शकेल? एक उत्तर उघड आहे. आपल्या घरातल्या फरशांचा आकार असतो तसा चौरसाकृती आकार आपण घेऊ शकतो. त्यामुळे खोलीच्या सगळ्या जमिनीवर फरशी बसेल आणि फरशी तोडण्याचीही गरज पडणार नाही. (आकृती क्रमांक १ पहा)

आकृती क्रमांक १

 पण फक्त चौरसाकृती आकार घेतला तरच या अटींचे पालन होईल असे काही नाही. उदाहरण म्हणून आपण नियमित षटकोनी आकाराच्या फरशा घेऊनदेखील या खोलीमधील जमिनीवर फरशा बसवू शकतो. नियमित षटकोन म्हणजे सर्व बाजूंची लांबी सारखी असलेला षटकोन.  (आकृती क्रमांक २ पहा)


आकृती क्रमांक २

 

 

 

मधमाशांच्या पोळ्यामध्ये अगदी याच प्रकारे षटकोनी खोल्या असतात हे आपण पाहीले असेलच. (आकृती क्रमांक ३)

 

आकृती क्रमांक ३: मधमाशांचे पोळे


या दोन्ही आकारांच्या बाबतीत हे लक्षात घ्या की कोणत्याही दोन फरशांच्या मध्ये अजिबात मोकळी जागा नाहीये. मग आता प्रश्न असा आहे की कोणताही आकार घेऊन अशा प्रकारे खोलीमध्ये सगळीकडे फरशी बसवता येईल का? खूप वेडेवाकडे आकार घेतले तर असे करता येणार नाही हे जवळपास उघड आहे. त्यामुळे आपण जरा साध्या आकारापासून सुरूवात करू. आपण आत्ताच पाहीले की चौरस आणि नियमित षटकोन यांसाठी आपल्या अटी पूर्ण होतात. मग आपण या दोघांच्या मध्ये असणाऱ्या नियमित पंचकोनासाठी हा प्रयत्न केला तर? जशा षटकोनाला सहा, तशा पंचकोनाला पाच बाजू असतात. इथे मात्र गडबड सुरू होते.

जर आपण ३ नियमित पंचकोन एकमेकांच्या शेजारी लावण्याचा प्रयत्न केला तर ते तंतोतंतपणे सगळी जागा व्यापत नाहीत आणि काही जागा मोकळीच राहाते आणि ४ नियमित पंचकोन एकमेकांच्या शेजारी लावण्याचा प्रयत्न केला तर ते एकमेकांवर जाऊन बसतात! (आकृती क्रमांक ४)

 

आकृती क्रमांक ४

 लगेच शरणागती न पत्करता आपण अजून थोडा प्रयत्न करूयात. समजा नियमित पंचकोन एकमेकांशेजारी ठेवताना थोडे सरकावून घेतले तर? म्हणजे एका पंचकोनाचा शिरोबिंदू दुसऱ्याच्या शिरोबिंदूला स्पर्श करायला नको. पण असे करायला गेलो तर तिसऱ्या पंचकोनासाठी पुरेसी जागाच उरत नाही! (आकृती क्रमांक ६)

आकृती क्रमांक ६

 आता मात्र याची खात्री पटते आहे की नियमित पंचकोनाच्या फरशा काही आपल्या खोलीत बसवता येणार नाहीत. पण आत्तापर्यंत आपले पंचकोन नियमित होते, म्हणजे त्यांच्या सर्व बाजूंची लांबी सारखीच होती. पण आता ही अट आपण शिथिल करून बघुयात. पंचकोनीच फरशी घ्यायची परंतू सर्व बाजू सारख्याच लांबीच्या असाव्यात असा काही हट्ट नाही. असा पंचकोन अनियमित म्हणून गणला जातो. असा एखादा अनियमित पंचकोनी आकार आहे का जो वापरून संपूर्ण खोलीमध्ये दिलेल्या अटी वापरून फरशी बसवता येईल? याचे उत्तर हो असे आहे! मात्र या आकारांचा शोध खूपच अवघड ठरला आहे. १९१८ साली जर्मन गणिती कार्ल राईनहार्ट यांनी असे ५ अनियमित पंचकोन शोधून काढले. यानंतर बऱ्याच गणित्यांनी यावरचे खडतर काम चालूच ठेवले आणि या सर्वांच्या कामाचा परिपाक म्हणजे रोल्फ स्टाईन यांचा शोध. १९८५ मध्ये त्यांनी आपल्या अटी पूर्ण करणाऱ्या अनियमित पंचकोनांची संख्या ५ वरून १४ वर नेली!

या घटनेला ३० वर्षे उलटली आहेत आणि आत्ता काही दिवसांपूर्वी ऑगस्ट २०१५ मध्ये वॉशिंग्टन बोथेल विद्यापीठातील तीन गणित्यांनी आणखी एका अशाच अनियमित पंचकोनाचा शोध जाहीर केला आहे आणि अशा अनियमित पंचकोनांची संख्या १४ वरून १५ वर नेली आहे! कदाचित हे अतिशय किरकोळ काम वाटण्याची शक्यता आहे परंतू हे काम अत्यंत जिकिरीचे होते. हे सर्व अनियमित पंचकोन खालील आकृती ७ मध्ये दाखवले आहेत.                                                                 

 

आकृती ७

 

 

 

२०१५ मध्ये शोधण्यात आलेला आकार या आकृतीमध्ये खालच्या उजव्या कोपऱ्यात दाखवलेला आहे. अजुन किती असे अनियमित पंचकोन अस्तित्वात आहेत या प्रश्नाचे उत्तर काही अजून ठाऊक नाही. तुम्हाला आणखी एखादा असा पंचकोन सापडला तर मात्र मला जरूर कळवा!

                                                                                                   

 

                          

5 comments:

  1. This is very intriguing, although people might think it to be trivial or redundant. http://i.dailymail.co.uk/i/pix/2015/08/17/21/2B711E0A00000578-3201424-image-a-50_1439844467438.jpg

    ReplyDelete
  2. Very nicely explained !
    Hi, this is Chetan. Do you mind if I share this with on my Ruparel college group on FB?

    This is my small incomplete (you can call it a blog) website on wordpress.

    https://physicssolutions.wordpress.com/

    ReplyDelete
    Replies
    1. Hello Chetan. You may freely share any material on this blog anywhere. You may even distribute it in any other form. None of the things are copyrighted. You may share other articles on this blog as well. :)

      I will look at your blog and will give you the feedback.

      Delete
  3. Very nicely explained !
    Hi, this is Chetan. Do you mind if I share this with on my Ruparel college group on FB?

    This is my small incomplete (you can call it a blog) website on wordpress.

    https://physicssolutions.wordpress.com/

    ReplyDelete