Sunday, August 16, 2015

खोटारड्या संख्यांची गोष्ट !


शीर्षक वाचून थोडे आश्चर्य वाटले ना? आत्तापर्यंत आपण फक्त माणसे खोटारडी असतात असे ऐकले असेल. मग हे काय नवीन प्रकरण? मात्र खोटारड्या संख्यांची गोष्ट खरेच खूप मजेदार आहे. सतराव्या शतकात फ्रान्समध्ये पीअर द फर्मा हा महान गणिती होऊन गेला. खरेतर फर्मा हा व्यवसायाने वकील होता आणि गणित फक्त तो छंद म्हणून करायचा. परंतू तरीदेखील त्याने गणितात जे काही काम करून ठेवले आहे त्याचे गणिताच्या पुढच्या सर्वच वाटचालीमध्ये पडसाद उमटले आहेत. बऱ्याचदा वेळेअभावी फर्माने स्वत: शोधलेल्या बऱ्याच गणिती सूत्रांची सिद्धता लिहून ठेवली नाही. आपली सूत्रे तो एकतर एखाद्या पुस्तकाच्या कोऱ्या समासात लिहून ठेवायचा किंवा मग आपल्या एखाद्या मित्राला पत्र पाठवून कळवायचा. इ.स. १६४० मध्ये फर्माने असेच नुकतेच शोधलेले एक गणिती सूत्र आपला मित्र (आणि प्रसिद्ध फ्रेंच गणिती) बिस्सी याला पाठवले. हे सूत्र म्हणजे आज गणितात अत्यंत प्रसिद्ध असलेला "फर्माचा छोटा सिद्दांत" (छोटा म्हणजे कमी महत्वाचा नाही! फर्माच्या दुसऱ्या एका सिद्धांताच्या नावाबरोबर गोंधळ होऊ नये म्हणून हे नाव). या सिद्धांताचा सरळ संबंध खोटारड्या संख्यांशी आहे.

 

फर्माचा छोटा सिद्दांत समजण्यासाठी आपल्याला आधी मूळ संख्या आणि संयुक्त संख्या यांची थोडीसी ओळख असणे महत्वाचे आहे. आपण कोणत्याही वस्तूंची एकूण संख्या ठरवण्यासाठी १,२,३,४,.. या संख्या वापरतो. या संख्यांना गणितात नैसर्गिक संख्या असे म्हटले जाते (शून्य ही नैसर्गिक संख्या नाहीये). यामधील १ ही संख्या थोडी वेगळी आहे: सगळ्या संख्यांना १ या संख्येने भाग जातो. इतर संख्यांबाबत मात्र असे होत नाही. उदा. ४ ही संख्या बघा. १ आणि २ ने ४ ला भाग जातो मात्र ३ ने जात नाही. गणिताच्या भाषेत १ आणि २ हे ४ चे विभाजक आहेत आणि ३ हा ४ चा विभाजक नाही. प्रत्येक संख्येला स्वत:ने भाग जातो (नाही शून्याबद्दल नाहीये बोलत मी!) त्यामुळे प्रत्येक संख्या ही स्वत:चा विभाजक असते. म्हणजेच ४ या संख्येला १,२ आणि स्वत: ४ असे एकूण ३ विभाजक आहेत. एखाद्या संख्येला किती विभाजक असतात याचे सूत्र अजूनतरी आपल्याला शोधता आलेले नाही. आपण २ ते १० पर्यंतच्या संख्यांच्या विभाजकांची संख्या किती आहे ते बघुयात. खाली मी या संख्या लिहील्या आहेत आणि प्रत्येक संख्येला किती विभाजक आहेत हे कंसात लिहीले आहे. तुम्हीदेखील हे तपासून पाहायला हरकत नाही.

 

२ (२), ३(२), ४(३), ५(२), ६(४), ७(२), ८(४), ९(३) आणि १० (४)

 

यांपैकी २,३,५ आणि ७ या संख्यांकडे बघा. या सर्व संख्यांना १ आणि ती स्वत: असे २ च विभाजक आहेत. फक्त २ च विभाजक असणाऱ्या नैसर्गिक संख्यांना गणितात मूळ संख्या असे म्हटले जाते. २ पेक्षा जास्त विभाजक असणाऱ्या संख्यांना संयुक्त संख्या असे म्हटले जाते. ४,६,८,९,१०,... या सर्व संयुक्त संख्या आहेत. मूळ संख्या हा गणितातील कदाचित सर्वात जास्त अभ्यासला गेलेला विषय आहे आणि तरीदेखील एकामागून एक सगळ्या मूळ संख्या देणारे सूत्र अजूनही गणितात माहीत नाहीये (तुम्हाला असे सूत्र सापडले तर एका दिवसात तुम्ही जगप्रसिद्ध होणार यात अजिबात शंका बाळगू नका!).

 

फर्माचा छोटा सिद्धांत याच मूळ संख्यांबद्दल आहे. या सिद्धांतानुसार p ही कोणतीही मूळ संख्या असेल आणि a ही दुसरी कोणतीही नैसर्गिक संख्या असेल तर (ap-a) या संख्येला p ने नक्की भाग जातो! (येथे ap म्हणजे a चा स्वता:बरोबरच p वेळा गुणाकार, २=२×२×२=८)आपण काही उदाहरणे पाहूयात. a = ४ आणि p = ५ घेऊयात. मग  ४-४= १०२४-४=१०२० = ५ ×२०४.  दुसरं उदाहरण घेऊयात. a = ५ आणि p = ३. मग ५-५ = १२५-५=१२०=३× ४०. तुम्ही अजून काही उदाहरणे घेऊन हा सिद्धांत जरूर पडताळून पाहा मात्र हे करताना एक मात्र लक्षात ठेवा की a कोणतीही संख्या असली तरी चालेल पण p ही मूळ संख्याच हवी. इथपर्यंत तरी काही खोटारडेपणा दिसत नाही!

 

आत्तापर्यंत आपण पाहीले की सर्व मूळ संख्या फर्माच्या छोट्या सिद्धांताचे काटेकोर पालन करतात. पण आता आपण उलट प्रश्न विचारूयात. समजा n ही कोणतीही एक नैसर्गिक संख्या असेल आणि जर कोणत्याही a या नैसर्गिक संख्येसाठी (an-a) या संख्येला n ने नेहमी भाग जात असेल, तर n ही संख्या मूळ संख्या आहे असा याचा अर्थ होतो का? समजा एखाद्या a साठी असे होत नसेल तर नक्कीच n ही मूळ संख्या नसणार हे फर्माच्या सिद्धांतामुळे उघड आहे. पण जर बऱ्याच वेगवेगळ्या a साठी नेहमीच n फर्माच्या सिद्धांताचे पालन करत असेल तर n ही मूळ संख्या आहे याबद्दल आपली खात्री होईल. यालाच फर्माची मूळतेची चाचणी असे म्हणतात.

 

नेमका इथेच काही संख्यांचा खोटारडेपणा उघड होतो. इ.स. १८८५ मध्ये झेक गणिती वॅक्लाव सिमेर्का यांनी अशा काही संख्या शोधल्या ज्या फर्माच्या चाचणीमधून जाताना अगदी मूळ संख्या असल्याचा बनाव करतात ! ५६१ ही सर्वांत छोटी अशी खोटारडी संख्या आहे. मूळ संख्या नसूनदेखील कोणत्याही a या संख्येसाठी (a५६१-a) या संख्येला ५६१ ने नेहमीच भाग जातो. सिमेर्का यांनी हेदेखील शोधले की ११०५, १७२९, २४६५, १८२१, ६६०१ आणि ८९११ या संख्यादेखील फर्माच्या चाचणीमधून जाताना खोटारडेपणे वागतात. या अशा संख्यांना आता अमेरिकन गणिती रॉबर्ट कारमायकल यांच्या नावावरून "कारमायकल संख्या" म्हणून ओळखले जाते. या संख्या सहजपणे ओळखता याव्यात यासाठी जर्मन गणिती अल्विन कोरसेल्ट यांनी १८९९ मध्ये एक साधी चाचणी शोधून काढली. समजायला थोडीशी किचकट असल्यामुळे मी इथे ती सांगत नाही. पर्ंतु या चाचणीमुळे कारमायकल संख्या ओळखणे बरेच सोप्पे झाले आहे हे नक्की.

 

वर दिलेल्या ७ कारमायकल संख्यांवरून आपल्याला दिसलेच असेल की या खोटारड्या संख्या तशा बऱ्याच दुर्मिळ आहेत आणि आपल्याला असे वाटू शकते की कदाचित एका मर्यादेच्या पुढे अशा संख्याच अस्तित्वातच नसतील. उदा. पहिल्या एक कोटी (१०,०००,०००) नैसर्गिक संख्यांमध्ये फक्त जवळपास १०० आणि पहिल्या १०० कोटी संख्यांमध्ये साधारणपणे केवळ ४०० संख्या खोटारड्या आहेत. पण १९९४ मध्ये तीन गणित्यांनी असे सिद्ध केले की खूप दुर्मिळ असल्या तरी अनंत कारमायकल संख्या अस्तित्वात आहेत!  फर्माच्या मुळतेच्या चाचणीला कारमायकल संख्या थोडासा त्रास देतात खरा पण तरी तो त्रास काही फारसा नाहीये. आणि या चाचणीच्या इतर गणित्यांनी तयार केलेल्या सुधारित आवृत्या खूपच छान काम करत असल्याने हा त्रास अजूनच कमी झालाय. माणसाचा खोटारडेपणा दुर्मिळ नसल्याने त्यावर उपाय शोधणे मात्र अजूनतरी गणित्यांना जमले नाहीये!










5 comments: